Física
Velocidade escalar média e velocidade escalar instantânea
Borges e Nicolau
Introdução
Para o cálculo da velocidade média que um carro desenvolve numa viagem basta dividir a distância que o carro percorre, ao longo da estrada, pelo intervalo de tempo contado desde a partida até a chegada. Por exemplo, um carro parte de São Paulo (capital) às 8 h da manhã e chega a Guaxupé (MG) ao meio dia, após percorrer
320 km. Para calcular a velocidade média desenvolvida dividimos 320 km por 4 h. Encontramos: 320 km/4 h = 80 km/h. Observe que o carro se desloca sempre no mesmo sentido e não ocorre inversão do movimento ao longo da estrada. É assim que estamos acostumados no nosso dia a dia: dividimos a distância percorrida pelo intervalo de tempo gasto.
Vamos agora ampliar esta definição, considerando a trajetória descrita por um móvel, em relação a um certo referencial. Seja s1 o espaço do móvel num instante t1 e s2 seu espaço num instante posterior t2. Seja ?s = s2 - s1 a variação de espaço no intervalo de tempo ?t = t2 - t1.
A seguir, vamos definir velocidade escalar média do móvel no intervalo de tempo ?t para uma variação de espaço ?s qualquer. Para o cálculo de ?s devemos levar em conta apenas as posições inicial e final, mesmo ocorrendo inversão no sentido do movimento.
Velocidade escalar média:
Sendo ?s > 0, isto é, s2 > s1, resulta Vm > 0. Se não houver inversão no sentido do movimento a variação de espaço ?s coincide com a distância efetivamente percorrida pelo móvel ao longo da trajetória (figura 1).
Se ?s < 0, temos Vm < 0 (figura 2).
No caso em que ?s = 0, resulta Vm = 0 (figura 3)
Unidades de velocidade: cm/s; m/s; km/h
Sendo 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s, vem :
1 km/h = 1000 m/3600 s = (1/3,6) m/s. Portanto: 1 m/s = 3,6 km/h
Vamos analisar alguns exemplos:
Um ônibus vai de São Paulo ao Rio de Janeiro em cinco horas, enquanto outro ônibus faz o percurso inverso, do Rio de Janeiro a São Paulo também em cinco horas. Vamos determinar a velocidade escalar média de cada veículo, sabendo que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo é de 400 quilômetros.
Precisamos inicialmente definir um sentido de percurso, isto é, orientar a trajetória e escolher uma das cidades como origem dos espaços (marco zero).
Assim, supondo que São Paulo seja a origem dos espaços, a ela será atribuído o marco zero. Como a distância entre as cidades é de 400 km, ao Rio de Janeiro caberá o marco +400, sendo o sentido adotado de São Paulo para o Rio de Janeiro.
Vamos então calcular a velocidade escalar média de cada um dos veículos, o primeiro indo de São Paulo ao Rio e o segundo fazendo o percurso inverso, Rio-São Paulo.
Veículo 1 => São Paulo-Rio
Espaço da partida s1 = 0 (partiu da origem do espaços, km 0)
Espaço da chegada s2 = 400 km
Variação de espaço: ?s = s2 - s1 = 400 km ? 0 = 400 km
Duração da viagem ?t = 5h
Cálculo da velocidade escalar média vm
vm = ?s/?t => vm = 400 km/5 h => vm = 80 km/h
Veículo 2 => Rio ? São Paulo
Espaço da partida s1 = 400 km
Espaço da chegada s2 = 0
Variação de espaço: ?s = s2 - s1 = 0 - 400 km = -400 km
Duração da viagem ?t = 5h
Cálculo da velocidade escalar vm
vm = ?s/?t => vm = -400 km/5 h => vm = -80 km/h
Como você notou, em uma das viagens um dos veículos apresentou velocidade escalar média negativa, o que ocorreu em função da orientação da trajetória.
Imagine um terceiro exemplo, mantendo a origem dos espaços em São Paulo e orientando a trajetória de São Paulo para o Rio.
Um ônibus sai de São Paulo, vai ao Rio de Janeiro e volta pela mesma estrada, chegando a Resende, situada no km 260. Qual é a velocidade escalar média do ônibus entre São Paulo e Resende sabendo-se que todo percurso foi realizado em 6,5 horas?
Espaço da partida s1 = 0
Espaço da chegada s2 = 260 km
Variação de espaço: ?s = s2 - s1 = 260 km - 0 = 260 km
Duração da viagem - Intervalo de tempo (?t) => ?t = 6,5 h
Cálculo da velocidade escalar vm
vm = ?s/?t => vm = 260 km/6,5 h => vm = 40 km/h
Observação: É assim que procedemos em Física: adotamos um ponto como origem dos espaços, orientamos a trajetória, determinamos as posições inicial e final do móvel e o intervalo de tempo gasto no percurso.
No caso em questão, como acabamos de calcular, a velocidade escalar média entre São Paulo e Resende resultou em 40 km/h.
Se você calculasse efetivamente a distância percorrida pelo ônibus neste trajeto encontraria de São Paulo ao Rio de Janeiro e do Rio de Janeiro a Resende as distâncias 400 km e 140 km, cuja soma é igual a 540 km, o que levaria a uma velocidade média de 540 km/6,5 h, aproximadamente 83 km/h. Está não é a velocidade escalar média definida em Física.
Algumas considerações:
1) Quando, num determinado percurso, o móvel não inverte o sentido do movimento e se desloca no sentido em que a trajetória foi orientada, a distância efetivamente percorrida (d) e a variação de espaço (?s) são numericamente iguais.
2) No cálculo da velocidade escalar média só interessam os instantes da partida e da chegada.
Veja este exemplo:
Um carro parte de São Paulo às 08h00 da manhã e chega ao Rio de Janeiro às 13h00. O motorista parou para almoçar, tendo ficado no restaurante durante uma hora.
Ao efetuarmos o cálculo da velocidade escalar média, não nos interessa o que aconteceu durante o percurso (almoço) e sim o intervalo de tempo entre a partida e a chegada.
A velocidade escalar média vm, portanto, foi de 80 km/h. E, desde que os instantes de partida e chegada permanecessem iguais, a vm continuaria a mesma, ainda que o almoço tivesse durado 2 horas. Ou, quem sabe, 3 horas!
Animação:
Velocidade escalar média
Clique aqui
Velocidade escalar instantânea:
A velocidade escalar num instante é indicada por v e pode ser entendida como sendo a velocidade escalar média tomada em um intervalo de tempo ?t extremamente pequeno, com ?t tendendo a zero, ou seja, t2 tendendo a t1.
O velocímetro de um carro fornece a velocidade escalar instantânea, isto é, indica a velocidade do carro em cada instante.
Exercícios Básicos
Exercício 1:
Um atleta percorre a distância de 100 m em 10 s. Qual é a velocidade escalar média do atleta? Dê a resposta em km/h e m/s.
Resolução: clique aqui
Exercício 2:
A velocidade escalar média de uma pessoa em passo normal é de 1,5 m/s. Quanto tempo a pessoa gasta para fazer uma caminhada de 3 km?
Resolução: clique aqui
Exercício 3:
É dada a função horária do movimento de um móvel s = 8 - 6t + t2, sendo o espaço s medido em metros e o instante t em segundos. Determine a velocidade escalar média do móvel entre os instantes:
a) 1 s e 2 s
b) 2 s e 4 s
c) 5 s e 6 s
Resolução: clique aqui
Exercício 4:
A distância entre as cidades de Goiânia e de Caldas Novas é de 169 km. Um ônibus parte de Goiânia às 13h e chega à cidade de Caldas Novas às 15h10min, tendo feito uma parada de 10min num posto de abastecimento.
Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pelo ônibus nesse trajeto?
Resolução: clique aqui
Exercício 5:
Numa viagem de João Pessoa a Cabedelo, uma moto desenvolve a velocidade escalar média de 80 km/h até a metade do percurso e de 60 km/h na metade seguinte.
Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pela moto de João Pessoa a Cabedelo?
Resolução: clique aqui
Exercício 6:
A função horária da velocidade de um móvel é dada por v = 5 - 2t, para v em m/s e t em s. Determine:
a) a velocidade do móvel nos instante 0 e 2 s.
b) em que instante a velocidade escalar do móvel se anula?
Resolução: clique aqui
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Velocidade escalar média e velocidade escalar instantânea
Borges e Nicolau
Introdução
Para o cálculo da velocidade média que um carro desenvolve numa viagem basta dividir a distância que o carro percorre, ao longo da estrada, pelo intervalo de tempo contado desde a partida até a chegada. Por exemplo, um carro parte de São Paulo (capital) às 8 h da manhã e chega a Guaxupé (MG) ao meio dia, após percorrer
320 km. Para calcular a velocidade média desenvolvida dividimos 320 km por 4 h. Encontramos: 320 km/4 h = 80 km/h. Observe que o carro se desloca sempre no mesmo sentido e não ocorre inversão do movimento ao longo da estrada. É assim que estamos acostumados no nosso dia a dia: dividimos a distância percorrida pelo intervalo de tempo gasto.
Vamos agora ampliar esta definição, considerando a trajetória descrita por um móvel, em relação a um certo referencial. Seja s1 o espaço do móvel num instante t1 e s2 seu espaço num instante posterior t2. Seja ?s = s2 - s1 a variação de espaço no intervalo de tempo ?t = t2 - t1.
A seguir, vamos definir velocidade escalar média do móvel no intervalo de tempo ?t para uma variação de espaço ?s qualquer. Para o cálculo de ?s devemos levar em conta apenas as posições inicial e final, mesmo ocorrendo inversão no sentido do movimento.
Velocidade escalar média:
vm = ?s/?t
Sendo ?s > 0, isto é, s2 > s1, resulta Vm > 0. Se não houver inversão no sentido do movimento a variação de espaço ?s coincide com a distância efetivamente percorrida pelo móvel ao longo da trajetória (figura 1).
Figura 1
Se ?s < 0, temos Vm < 0 (figura 2).
Figura 2
No caso em que ?s = 0, resulta Vm = 0 (figura 3)
Figura 3
Unidades de velocidade: cm/s; m/s; km/h
Sendo 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s, vem :
1 km/h = 1000 m/3600 s = (1/3,6) m/s. Portanto: 1 m/s = 3,6 km/h
Vamos analisar alguns exemplos:
Um ônibus vai de São Paulo ao Rio de Janeiro em cinco horas, enquanto outro ônibus faz o percurso inverso, do Rio de Janeiro a São Paulo também em cinco horas. Vamos determinar a velocidade escalar média de cada veículo, sabendo que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo é de 400 quilômetros.
Precisamos inicialmente definir um sentido de percurso, isto é, orientar a trajetória e escolher uma das cidades como origem dos espaços (marco zero).
Assim, supondo que São Paulo seja a origem dos espaços, a ela será atribuído o marco zero. Como a distância entre as cidades é de 400 km, ao Rio de Janeiro caberá o marco +400, sendo o sentido adotado de São Paulo para o Rio de Janeiro.
Vamos então calcular a velocidade escalar média de cada um dos veículos, o primeiro indo de São Paulo ao Rio e o segundo fazendo o percurso inverso, Rio-São Paulo.
Veículo 1 => São Paulo-Rio
Espaço da partida s1 = 0 (partiu da origem do espaços, km 0)
Espaço da chegada s2 = 400 km
Variação de espaço: ?s = s2 - s1 = 400 km ? 0 = 400 km
Duração da viagem ?t = 5h
Cálculo da velocidade escalar média vm
vm = ?s/?t => vm = 400 km/5 h => vm = 80 km/h
Veículo 2 => Rio ? São Paulo
Espaço da partida s1 = 400 km
Espaço da chegada s2 = 0
Variação de espaço: ?s = s2 - s1 = 0 - 400 km = -400 km
Duração da viagem ?t = 5h
Cálculo da velocidade escalar vm
vm = ?s/?t => vm = -400 km/5 h => vm = -80 km/h
Como você notou, em uma das viagens um dos veículos apresentou velocidade escalar média negativa, o que ocorreu em função da orientação da trajetória.
Imagine um terceiro exemplo, mantendo a origem dos espaços em São Paulo e orientando a trajetória de São Paulo para o Rio.
Um ônibus sai de São Paulo, vai ao Rio de Janeiro e volta pela mesma estrada, chegando a Resende, situada no km 260. Qual é a velocidade escalar média do ônibus entre São Paulo e Resende sabendo-se que todo percurso foi realizado em 6,5 horas?
Espaço da partida s1 = 0
Espaço da chegada s2 = 260 km
Variação de espaço: ?s = s2 - s1 = 260 km - 0 = 260 km
Duração da viagem - Intervalo de tempo (?t) => ?t = 6,5 h
Cálculo da velocidade escalar vm
vm = ?s/?t => vm = 260 km/6,5 h => vm = 40 km/h
Observação: É assim que procedemos em Física: adotamos um ponto como origem dos espaços, orientamos a trajetória, determinamos as posições inicial e final do móvel e o intervalo de tempo gasto no percurso.
No caso em questão, como acabamos de calcular, a velocidade escalar média entre São Paulo e Resende resultou em 40 km/h.
Se você calculasse efetivamente a distância percorrida pelo ônibus neste trajeto encontraria de São Paulo ao Rio de Janeiro e do Rio de Janeiro a Resende as distâncias 400 km e 140 km, cuja soma é igual a 540 km, o que levaria a uma velocidade média de 540 km/6,5 h, aproximadamente 83 km/h. Está não é a velocidade escalar média definida em Física.
Algumas considerações:
1) Quando, num determinado percurso, o móvel não inverte o sentido do movimento e se desloca no sentido em que a trajetória foi orientada, a distância efetivamente percorrida (d) e a variação de espaço (?s) são numericamente iguais.
2) No cálculo da velocidade escalar média só interessam os instantes da partida e da chegada.
Veja este exemplo:
Um carro parte de São Paulo às 08h00 da manhã e chega ao Rio de Janeiro às 13h00. O motorista parou para almoçar, tendo ficado no restaurante durante uma hora.
Ao efetuarmos o cálculo da velocidade escalar média, não nos interessa o que aconteceu durante o percurso (almoço) e sim o intervalo de tempo entre a partida e a chegada.
A velocidade escalar média vm, portanto, foi de 80 km/h. E, desde que os instantes de partida e chegada permanecessem iguais, a vm continuaria a mesma, ainda que o almoço tivesse durado 2 horas. Ou, quem sabe, 3 horas!
Animação:
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Velocidade escalar instantânea:
A velocidade escalar num instante é indicada por v e pode ser entendida como sendo a velocidade escalar média tomada em um intervalo de tempo ?t extremamente pequeno, com ?t tendendo a zero, ou seja, t2 tendendo a t1.
O velocímetro de um carro fornece a velocidade escalar instantânea, isto é, indica a velocidade do carro em cada instante.
Exercícios Básicos
Exercício 1:
Um atleta percorre a distância de 100 m em 10 s. Qual é a velocidade escalar média do atleta? Dê a resposta em km/h e m/s.
Resolução: clique aqui
Exercício 2:
A velocidade escalar média de uma pessoa em passo normal é de 1,5 m/s. Quanto tempo a pessoa gasta para fazer uma caminhada de 3 km?
Resolução: clique aqui
Exercício 3:
É dada a função horária do movimento de um móvel s = 8 - 6t + t2, sendo o espaço s medido em metros e o instante t em segundos. Determine a velocidade escalar média do móvel entre os instantes:
a) 1 s e 2 s
b) 2 s e 4 s
c) 5 s e 6 s
Resolução: clique aqui
Exercício 4:
A distância entre as cidades de Goiânia e de Caldas Novas é de 169 km. Um ônibus parte de Goiânia às 13h e chega à cidade de Caldas Novas às 15h10min, tendo feito uma parada de 10min num posto de abastecimento.
Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pelo ônibus nesse trajeto?
Resolução: clique aqui
Exercício 5:
Numa viagem de João Pessoa a Cabedelo, uma moto desenvolve a velocidade escalar média de 80 km/h até a metade do percurso e de 60 km/h na metade seguinte.
Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pela moto de João Pessoa a Cabedelo?
Resolução: clique aqui
Exercício 6:
A função horária da velocidade de um móvel é dada por v = 5 - 2t, para v em m/s e t em s. Determine:
a) a velocidade do móvel nos instante 0 e 2 s.
b) em que instante a velocidade escalar do móvel se anula?
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