Física
O Fantástico e Onipresente Número PI (?)
Professor Carlos Magno Torres
Pelo fato de o número pi ser representado por uma letra do alfabeto grego, poderíamos pensar que os antigos gregos tenham sido os primeiros a utilizá-lo. Bem, não é o que a história diz. Não se pode precisar a origem do pi com tanta certeza como a que temos quanto à do primeiro aparecimento do pi representado pela letra ???. Foi em 1706, no livro do matemático inglês William Jones (1675-1749). Curiosamente, em 1647, o também matemático inglês William Oughtred (1574-1660) usou a letra ??? para representar o perímetro da circunferência, talvez por se tratar da primeira letra da palavra grega ?periferia? (????????), que significa perímetro, contorno ou borda.
A razão constante entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência já era conhecida, desde cerca de 1900 a.C, no antigo Egito, que usava o pi com o valor 25/8 (3,1250). Na Babilônia usava-se o pi com o valor 256/81 (3,1605) e na Índia adotava-se a fração 339/108 (3,1389) para o valor de pi .
O genial Arquimedes adotava a fração 22/7 para representar o pi: 22/7 = 3,142857...
Um desvio de apenas 0,04%! Absolutamente genial, não?!
Quando Leonhard Euler (1707-1783), outro gênio da matemática, começou a utilizar a letra ??? para representar essa ?mágica? constante em seus trabalhos mundialmente reconhecidos, essa notação se firmou definitivamente.
De acordo com o matemático russo G. Gléizer, em um texto bíblico hebraico que data de alguma época entre os séculos X e V a.C., encontramos o pi com uma notável exatidão de cinco algarismos: 3,1415094!
Uma excelente aproximação para pi, até o sexto dígito decimal, é a fração 355/113 que fornece o valor 3, 14159292... . Um desvio percentual de apenas 8,0 milionésimos!
Para cálculos de média precisão podemos usar ? ? 3,14 ou 3,1416. Em algumas aplicações de menor precisão ou apenas para facilitar cálculos manuais ou mentais, adotamos ? ? 3, cometendo um erro da ordem de 4,5%. Em outras situações encontramos ?2 ? 10, com um erro de apenas 1,32% (?2 ? 9,8696...).
No início dos anos 1970 o físico Richard P. Feynman lançou a ousada hipótese cosmológica de que o ano terrestre teria ?? · 107 segundos? ou 10? milhões de segundos!
Um relógio de altíssima precisão mediu a duração do ano de 1975, apontado um resultado de 3,1492·107 segundos. Uma diferença de apenas 0,24% em relação à hipótese de Feynman! Simplesmente notável!
Abaixo temos o pi com suas 50 primeiras ?casas? decimais:
? = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
Se representarmos o pi com apenas 11 algarismos decimais, podemos calcular o comprimento de uma circunferência na qual se ajusta a circunferência equatorial da Terra, com menos de um milímetro de folga. Atualmente são conhecidos alguns trilhões de dígitos significativos do número pi.
Portanto, é natural e inevitável que se faça a pergunta: Mas,... qual é a utilidade ou a aplicação prática de se conhecer o pi com tanta precisão? Mesmo o mais obstinado engenheiro necessitaria de, no máximo, 7 ou 8 dígitos decimais nos seus cálculos. Um físico, obcecado por precisão, só precisaria de 15 ou 20 dígitos decimais, se tanto. Então, para quê tanto esforço?! Será que o número pi ainda esconde algum ?grande segredo????
Atualmente o cálculo de mais e mais casas decimais do número pi é usado para testar e comparar o desempenho de hardwares digitais específicos e de rotinas de softwares de segurança, por exemplo, em criptografia.
A letra grega ??? equivale à nossa letra ?p? minúscula.
Expressões que ?levam? ao número ? ou a valores próximos dele
? O número ? segundo Leonhard Euler:
?2 = 6.(1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ...)
? O número ? segundo Gottfried Wilhelm Leibniz:
? = 4.(1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...)
? O número ? com a sua calculadora:
355/113 ? 3,141592..., com um erro de apenas 8,0.10-6 % !
- Leituras Do Blog
Mas, ...onde aparece o número ?e??Continuação de "e, o número da natureza!" (aqui) Professor Carlos Magno TorresPor que o número e é considerado o ?Número da Natureza?? Por que os logaritmos de base e são chamados de ?Logaritmos Naturais??...
- Leituras Do Blog
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- Números
Sistema decimal e sistema binário Nicolau Gilberto Ferraro Normalmente utilizamos, ao escrever um número qualquer, o sistema decimal, isto é, o número é escrito como potências de 10. Por exemplo, o número 749 é igual a 7.102 + 4.101 + 9.100,...
- NÚmeros Decimais ? DivisÃo
Numa divisão em que: D é o dividendo d é o divisor q é o quociente r é o resto temos: D=q.d+r Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor Vamos por exemplo efetuar a seguinte divisão: 24:0,5. Inicialmente, multiplicamos o dividendo...
- NÚmeros Decimais ? AdiÇÃo E SubtraÇÃo
Vamos calcular o valor da seguinte soma: 5,32+12,5+0,034 Transformamos, inicialmente, os números decimais em frações decimais:5,32+12,5+0,034 Portanto: 5,32+12,5+0,034=17,854 Na prática, a adição e subtração de números decimais são obtidas...
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O Fantástico e Onipresente Número PI (?)
Professor Carlos Magno Torres
Pelo fato de o número pi ser representado por uma letra do alfabeto grego, poderíamos pensar que os antigos gregos tenham sido os primeiros a utilizá-lo. Bem, não é o que a história diz. Não se pode precisar a origem do pi com tanta certeza como a que temos quanto à do primeiro aparecimento do pi representado pela letra ???. Foi em 1706, no livro do matemático inglês William Jones (1675-1749). Curiosamente, em 1647, o também matemático inglês William Oughtred (1574-1660) usou a letra ??? para representar o perímetro da circunferência, talvez por se tratar da primeira letra da palavra grega ?periferia? (????????), que significa perímetro, contorno ou borda.
A razão constante entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência já era conhecida, desde cerca de 1900 a.C, no antigo Egito, que usava o pi com o valor 25/8 (3,1250). Na Babilônia usava-se o pi com o valor 256/81 (3,1605) e na Índia adotava-se a fração 339/108 (3,1389) para o valor de pi .
O genial Arquimedes adotava a fração 22/7 para representar o pi: 22/7 = 3,142857...
Um desvio de apenas 0,04%! Absolutamente genial, não?!
Quando Leonhard Euler (1707-1783), outro gênio da matemática, começou a utilizar a letra ??? para representar essa ?mágica? constante em seus trabalhos mundialmente reconhecidos, essa notação se firmou definitivamente.
De acordo com o matemático russo G. Gléizer, em um texto bíblico hebraico que data de alguma época entre os séculos X e V a.C., encontramos o pi com uma notável exatidão de cinco algarismos: 3,1415094!
Uma excelente aproximação para pi, até o sexto dígito decimal, é a fração 355/113 que fornece o valor 3, 14159292... . Um desvio percentual de apenas 8,0 milionésimos!
Para cálculos de média precisão podemos usar ? ? 3,14 ou 3,1416. Em algumas aplicações de menor precisão ou apenas para facilitar cálculos manuais ou mentais, adotamos ? ? 3, cometendo um erro da ordem de 4,5%. Em outras situações encontramos ?2 ? 10, com um erro de apenas 1,32% (?2 ? 9,8696...).
No início dos anos 1970 o físico Richard P. Feynman lançou a ousada hipótese cosmológica de que o ano terrestre teria ?? · 107 segundos? ou 10? milhões de segundos!
Um relógio de altíssima precisão mediu a duração do ano de 1975, apontado um resultado de 3,1492·107 segundos. Uma diferença de apenas 0,24% em relação à hipótese de Feynman! Simplesmente notável!
Abaixo temos o pi com suas 50 primeiras ?casas? decimais:
? = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
Se representarmos o pi com apenas 11 algarismos decimais, podemos calcular o comprimento de uma circunferência na qual se ajusta a circunferência equatorial da Terra, com menos de um milímetro de folga. Atualmente são conhecidos alguns trilhões de dígitos significativos do número pi.
Portanto, é natural e inevitável que se faça a pergunta: Mas,... qual é a utilidade ou a aplicação prática de se conhecer o pi com tanta precisão? Mesmo o mais obstinado engenheiro necessitaria de, no máximo, 7 ou 8 dígitos decimais nos seus cálculos. Um físico, obcecado por precisão, só precisaria de 15 ou 20 dígitos decimais, se tanto. Então, para quê tanto esforço?! Será que o número pi ainda esconde algum ?grande segredo????
Atualmente o cálculo de mais e mais casas decimais do número pi é usado para testar e comparar o desempenho de hardwares digitais específicos e de rotinas de softwares de segurança, por exemplo, em criptografia.
A letra grega ??? equivale à nossa letra ?p? minúscula.
Expressões que ?levam? ao número ? ou a valores próximos dele
? O número ? segundo Leonhard Euler:
?2 = 6.(1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ...)
? O número ? segundo Gottfried Wilhelm Leibniz:
? = 4.(1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...)
? O número ? com a sua calculadora:
355/113 ? 3,141592..., com um erro de apenas 8,0.10-6 % !
? = 16.arctg(1/5) - 4.arctg(1/239); aqui 1/5 e 1/239 são arcos medidos em radianos.
Aproximações que envolvem o Pi
- razão entre as massas do próton e do elétron em função do ?:
mp/me ? 4.?.(4? - 1/?).(4? - 2/?) = 1836,15..., com um desvio de apenas 0,05 %.
- aceleração da gravidade na superfície da Terra, em função do pi:
g ? ?2 , com um erro de apenas 0,64 %.
- pi como raiz quadrada de dez:
Se ?2 ? 10 => ? ? ?10 ? 3,1623, com um erro de apenas 0,66 %.
- razão entre as massas do próton e do elétron em função do ?:
mp/me ? 4.?.(4? - 1/?).(4? - 2/?) = 1836,15..., com um desvio de apenas 0,05 %.
- aceleração da gravidade na superfície da Terra, em função do pi:
g ? ?2 , com um erro de apenas 0,64 %.
- pi como raiz quadrada de dez:
Se ?2 ? 10 => ? ? ?10 ? 3,1623, com um erro de apenas 0,66 %.
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- NÚmeros Decimais ? DivisÃo
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- NÚmeros Decimais ? AdiÇÃo E SubtraÇÃo
Vamos calcular o valor da seguinte soma: 5,32+12,5+0,034 Transformamos, inicialmente, os números decimais em frações decimais:5,32+12,5+0,034 Portanto: 5,32+12,5+0,034=17,854 Na prática, a adição e subtração de números decimais são obtidas...