Física
Carrinhos subindo rampas
(UFF-RJ)
Dois carrinhos idênticos, ambos de massa m, são colocados em repouso num plano horizontal, comprimindo uma mola, conforme mostra a figura. A mola é mantida comprimida por uma linha fina, de massa desprezível, amarrada aos dois carrinhos, mas a mola não está presa a eles. Rompe-se a linha e os dois carrinhos movem-se em sentidos opostos e sobem as rampas ilustradas na figura, até atingirem uma altura máxima h0. Numa segunda experiência, uma massa desconhecida X é adicionada ao carrinho A. Os dois carrinhos são recolocados nas mesmas posições, comprimindo a mesma mola de forma idêntica à situação anterior. Entretanto, nessa segunda experiência, após o rompimento da linha, apenas a altura máxima hB atingida pelo carrinho B é medida.
Considere que a aceleração da gravidade é g e que a massa da mola e o atrito entre os carrinhos e a superfície onde eles se deslocam são, ambos, desprezíveis.
a) Determine a energia potencial elástica inicialmente armazenada na mola em termos de m, g e h0.
b) Na 2ª experiência, os carrinhos A e B atingem velocidades, respectivamente, vA e vB imediatamente após a mola alcançar sua posição relaxada. Determine a razão vA/vB em função de m e x.
c) Determine o valor da massa desconhecida x em termos de m, h0 e hB.
Resolução:
a) A energia potencial elástica inicialmente armazenada na mola se transforma na energia potencial gravitacional dos carrinhos ao atingirem a altura h0:
Eelást = EPA + EPB = m.g.h0 + m.g.h0 => Eelást = 2.m.g.h0
b) Vamos considerar o 2º experimento. A quantidade de movimento inicial do sistema é nula. (Qa = 0) Depois de a mola alcançar a posição relaxada, a quantidade de movimento do sistema é a soma das quantidades de movimento dos carrinhos A e B.
Qd = (m+x).vA + m.vB)
Pela conservação da quantidade de movimento, resulta:
Qa = Qd => 0 = (m+x).vA + m.vB => (m+x).vA = -m.vB
Em módulo, temos:
(m+x).vA = m.vB => vA/vB = m/(m+x)
c) A energia potencial elástica do sistema, no segundo experimento, transforma-se na energia cinética dos carrinhos A e B. A energia cinética de B se transforma em energia potencial gravitacional na posição de altura hB.
Eelást = (m+x).(vA)2/2 + m.(vB)2/2 (1)
Sendo: Eelást = 2.m.g.h0; m.(vB)2/2 = m.g.hB e (vB)2 = 2.g.hB;
vA = m/(m+x).vB, temos em (1)
2.m.g.h0 = (m+x).(m/m+x)2.2.g.hB + m.g.hB
2.h0 = m.(m+x)/hB + hB => 2.h0 = hB.(2m+x)/(m+x) =>
2.h0.m + 2.h0.x = 2.hB.m + hB.x =>
2.m.(h0 - hB) = x.(hB - 2.h0) =>
x = [2.m.(h0 - hB)/(hB - 2.h0)] => x = m.(hB - h0)/(h0 - hB/2)
Respostas:
a) Eelást = 2.m.g.h0
b) vA/vB = m/(m+x)
c) x = m.(hB - h0)/(h0 - hB/2)
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a) Determine a energia potencial elástica inicialmente armazenada na mola em termos de m, g e h0.
b) Na 2ª experiência, os carrinhos A e B atingem velocidades, respectivamente, vA e vB imediatamente após a mola alcançar sua posição relaxada. Determine a razão vA/vB em função de m e x.
c) Determine o valor da massa desconhecida x em termos de m, h0 e hB.
Resolução:
a) A energia potencial elástica inicialmente armazenada na mola se transforma na energia potencial gravitacional dos carrinhos ao atingirem a altura h0:
Eelást = EPA + EPB = m.g.h0 + m.g.h0 => Eelást = 2.m.g.h0
b) Vamos considerar o 2º experimento. A quantidade de movimento inicial do sistema é nula. (Qa = 0) Depois de a mola alcançar a posição relaxada, a quantidade de movimento do sistema é a soma das quantidades de movimento dos carrinhos A e B.
Qd = (m+x).vA + m.vB)
Pela conservação da quantidade de movimento, resulta:
Qa = Qd => 0 = (m+x).vA + m.vB => (m+x).vA = -m.vB
Em módulo, temos:
(m+x).vA = m.vB => vA/vB = m/(m+x)
c) A energia potencial elástica do sistema, no segundo experimento, transforma-se na energia cinética dos carrinhos A e B. A energia cinética de B se transforma em energia potencial gravitacional na posição de altura hB.
Eelást = (m+x).(vA)2/2 + m.(vB)2/2 (1)
Sendo: Eelást = 2.m.g.h0; m.(vB)2/2 = m.g.hB e (vB)2 = 2.g.hB;
vA = m/(m+x).vB, temos em (1)
2.m.g.h0 = (m+x).(m/m+x)2.2.g.hB + m.g.hB
2.h0 = m.(m+x)/hB + hB => 2.h0 = hB.(2m+x)/(m+x) =>
2.h0.m + 2.h0.x = 2.hB.m + hB.x =>
2.m.(h0 - hB) = x.(hB - 2.h0) =>
x = [2.m.(h0 - hB)/(hB - 2.h0)] => x = m.(hB - h0)/(h0 - hB/2)
Respostas:
a) Eelást = 2.m.g.h0
b) vA/vB = m/(m+x)
c) x = m.(hB - h0)/(h0 - hB/2)
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