Física

Leis de Kirchhoff

Introdução

As leis de Kirchhoff são métodos para a resolução de redes elétricas, circuitos complexos que não podem ser reduzidos a um circuito equivalente. Enquanto a Lei de Pouillet serve para resolver circuitos simples, as leis de Kirchhoff serão muito práticas para a resolução de circuitos complexos. As duas leis de Kirchhoff são: a Lei dos Nóse a Lei das Malhas. Porém antes de partir para elas é necessário a apresentação de alguns conceitos essenciais.

Rede Elétrica

Uma rede elétrica é um circuito complexo constituído por malhas, ramos e nós e que não pode ser reduzido a um circuito equivalente simples. Observe o exemplo a seguir:

A rede elétrica acima é constituída de dois geradores E1 e E2 com resistências internas r1 e r2 respectivamente, um receptor E3 e resistência interna r3 e três resistores de resistência R. Note que não é possível obter um circuito equivalente pois não se tem como isolar nenhum dos elementos constituintes do circuito.

Agora é necessário estabelecer algumas identificações para a compreensão da rede. Observe a figura a seguir:

Trata-se do mesmo circuito citado acima porém agora denotaremos algumas identificações.

Nó: é qualquer ponto de um circuito no qual a corrente elétrica se divide, no circuito em questão os pontos B e E são nós.

Ramo: é qualquer fio que interliga dois nós. No exemplo acima, há três ramos, ABEF, BE e BCDE respectivamente.

Malha: é qualquer conjunto de ramos formando um circuito fechado. No exemplo, ABEFAe BCDEB.

1° Lei de Kirchhoff - "Lei dos Nós" ou "Regra dos Nós"

A primeira lei de Kirchhoff estabelece que:

"Em um nó, a soma das intensidades de corrente elétrica que chegam é igual a soma das intensidades de corrente elétrica que saem."

Observe o exemplo a seguir:

A corrente elétrica i1 que percorre a malha ABEFAe a corrente elétrica i2 que percorre o ramo BE ao chegarem ao nó B resultam em i3 o qual percorre a malha BCDEB. Como a primeira lei de Kirchhoff estabelece que a intensidade da corrente que sai de um nó é igual a intensidade da corrente elétrica que entra em um nó, estabelece-se para o circuito acima que:

Exemplo 1:

Considere a rede elétrica a seguir:

Supondo que a corrente elétrica i1 vale 2A e i2 4A, calcule a corrente elétrica i3.

Resolução:

De acordo com a primeira Lei de Kirchhoff ou "Lei dos Nós", a soma das correntes que entram em um nó é igual a soma das correntes que saem de um nó. No circuito acima, a corrente i3 sai do nó B e as correntes i1 e i2 entram no nó B. Portanto:

i1 + i2 = i3

2 + 4 = i3

i3 = 6A

2° Lei de Kirchhoff - "Lei das Malhas" ou "Regra das Malhas"

A segunda lei de Kirchhoff estabelece que:

"Ao percorrer uma malha em um sentido contínuo qualquer, retornando-se ao ponto de partida, a soma das diferenças de potencial elétrico é nula".

Observe o exemplo a seguir:

Chamando a malha de α e percorrendo-a no sentido indicado (sentido horário) obtemos:

Portanto conclui-se que:

Ou seja, a soma das diferenças de potenciais elétricos (d.d.p) na malha α é nulo.

Convenções

Como o sentido de análise das malhas é completamente arbitrário, o sentido percorrido pode equivaler tanto a um aumento de tensão quanto uma queda de tensão. Para isso estabeleceram-se algumas convenções, observe as figuras a seguir:

Figura 1 Figura 2

Note que na figura 1 a corrente i1 se dirige do maior potencial VA para o menor potencial VB e o sentido de análise α coincide com a da corrente. Como toda resistência representa uma queda de tensão, a corrente estaria entrando pelo polo positivo (+R.i). Já na figura 2, o sentido de análise a é oposto ao potencial elétrico do resistor, portanto a corrente estaria entrando pelo polo negativo. (-R.i)

Para geradores e receptores, o sinal da tensão coincide com o polo pelo qual o percurso α entra.

Nota: Por questão de preferência, irei adotar a análise de percurso sempre no sentido da tensão do gerador (maior fem da rede elétrica).

Exercícios

Exemplo 1

Para o circuito da figura, determine as intensidades das correntes elétricas em todos os ramos.

Resolução:

Como se trata de uma rede elétrica devemos aplicar as leis de Kirchhoff. Lembre-se, nuncaparta para a lei das malhas sem antes ter feito a leis dos nós!

Lei dos Nós:

Como o gerador encontra-se na malha α (maior f.e.m), supõem-se que a corrente elétrica siga o trecho F-A, portanto a fonte de 3,5 V na malha β atuará como receptor. Logo, as correntes elétricas i1 e i2 estarão chegando ao nó B e a corrente elétrica i3 saindo do nó B.

Soma das correntes que entram no nó = Soma das correntes que saem do nó

i3 = i1 + i2 ( 1 )

Lei das Malhas:

Como a lei dos nós já foi estabelecida podemos prosseguir para a lei das malhas. Adotando como sentido de análise das malhas o mesmo das correntes (horário) temos a soma de tensões nula. Seguindo as convenções corretamente:

a) -10 + 2.i1 - 3.i2 + 13 = 0 → 2.i1 - 3.i2 = -3 ( 2 )

B) -13 + 3.i2 - 14 + 4.i3 + 3,5 + i3 = 0 → 3.i2 + 5.i3 = 23,5 ( 3 )

Nota: Como o resistor de 3 Ω é comum para as duas malhas, adotei arbitrariamente que o sentido de B define o sentido positivo ao passar pela resistência.

Substituindo ( 1 ) em ( 2 ):

3.i2 + 5.(i1 + i2) = 23,5 → 5.i1 + 8.i2 = 23,5 ( 4 )

Multiplicando ( 4 ) por 2 e somando com ( 3 ) multiplicado por -5

{ 10.i1 + 16.i2 = 47

{ -10.i1 + 15.i2 = 15

31.i2 = 62 →i2 = 2 A ; substituindo i2 em (3): i1 = 1,5 A; substituindo i1 em (1): i3 = 3,5 A

Exercício 2

No circuito dado, determine a diferença de potencial VA - VB no ramo AB.

Resolução:

Para determinar a diferença de potencial entre os nós A e B precisamos saber a corrente que passa pelo resistor de 15 Ω. O primeiro passo é obter o sentido das correntes nas malhas.

Lei dos Nós:

O gerador encontra-se na malha α, portanto a corrente irá percorrer a malha esquerda no sentido horário. De A até B temos uma queda de potencial, portanto a corrente na malha direita deve ter sentido anti-horário. As correntes i1 e i3 chegam ao nó A e a corrente i2 sai do nó A, portanto:

i2 = i1 + i3 (1)

Lei das Malhas:

α)10.i1 - 20 + 15.i2 = 0 → 10.i1 + 15.i2 = 20 → 2.i1 + 3.i2 = 4 (2)

β)10.i3 - 12 + 15.i2 = 0 → 15.i2 + 10.i3 = 12 (3)

Substituindo (1) em (3):

15.i2 + 10.(i1 + i2) = 12 → 10.i1 + 25.i2 = 12 (4)

Multiplicando (2) por -5 e somando com (4):

{ -10.i1 - 15.i2 = -20

{ 10.i1 + 25.i2 = 12

10.i2 = -8

i2 = -0,8 A ; note que o sinal deu negativo, isso significa que o sentido adotado está invertido, basta considerar em módulo, portanto i2 = 0,8 A

Encontramos a corrente que passa pelo ramo AB, portanto através da Lei de Ohm, resistor de 15 Ω e corrente de 0,8 A:

U = R.i →U = 15 . 0,8 →U = 12 V

Exercício 3

(Efei - MG) As duas baterias do circuito, associadas em paralelo, alimentam: o amperímetro A ideal, a lâmpada de incandescência de resistência R e o resistor de resistência interna 1Ω, todos em série. Se o amperímetro registra 4 A, calcule:

a) as intensidades das correntes i1 e i2 nas baterias b) a resistência elétrica R da lâmpada

Resolução:

Lei dos Nós:

O gerador está localizado na malha superior (12 V), portanto o sentido da corrente será anti-horário, a corrente i3 terá de circular no sentido anti-horário para trazer a corrente i2. Portanto:

i3 = i1 + i2 → i2 = i3 - i1 (1)

Lei das Malhas:

Como o resistor de 0,3 Ω é comum para as duas malhas, adotaremos como positivo o sinal

por onde entra a corrente da malha a no resistor. Pelo enunciado, i3 = 4 A.

a) -12 + 0,5.i1 + 0,3.i2 + 10 = 0 → 0,5.i1 + 0,3.i2 = 2 (2)

B) 4R + 3 - 10 - 0,3.i2 = 0 → -0,3.i2 = 13 - 4R (3)

Substituindo (1) em (2):

0,5.i1 + 0,3.(4 - i1) = 2 → 0,2.i1 = -0,8 → i1 = 4A ; substituindo i1 em (1): i2 = 0

Nota: o sinal negativo indica que o sentido adotado está invertido, basta considerar em módulo.

Para determinar R podemos usar a Lei de Pouillet:

Exercício 4

(FEI - SP) No circuito da figura, a intensidade de corrente i1, vale 0,2 A. Determine i2, i3 e R3.

Resolução:

Lei dos Nós:

O sentido das correntes já foi exposto na questão. i3 está entrando e i1 e i2 estão saindo.

i3 = i1 + i2 → i2 = i3 - i1 → i2 = i3 - 0,2 (1)

Lei das Malhas:

a) -3 + 5.i1 + R3.i3 = 0 → -3 + 5.0,2 + R3.i3 = 0 → 2 = R3.i3 (2)

B) -5 + 5.i2 + R3.i3 = 0 (3)

Nota: Perceba que R3 tem o mesmo sinal nos dois já que coincidem no sentido.

Substituindo (1) em (3):

-5 + 5.(i3 - 0,2) + R3.i3 = 0 → 5.i3 + R.i3 = 6 (4)

Multiplicando (2) por -1 e somando com (4):

{ -R3.i3 = -2

{ 5.i3 + R.i3 = 6

5.i3 = 4

i3 = 0,8 A

Substituindo i3 em (1):

i2 = 0,8 - 0,2 → i2 = 0,6 A

Substituindo i3 em (2):

2 = R3.0,8 → R = 2,5 Ω

Por Marcelo Carsten

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